Alexander Granach (Geburtsname: Jessaja Szajko Gronach) wurde am 18. April 1890 in dem ukrainischen Dorf Werbiwici (Ostgalizien) geboren. Bereits mit 12 Jahren absolvierte er in der Kleinstadt Horodenka eine Bäckerlehre und ging anschließend nach Art der Handwerkergesellen auf Wanderschaft. Während dieser Zeit kam der Sohn einer jüdischen Familie sowohl mit russisch-jüdischen Studierenden, als auch mit Künstlern von Wanderbühnen in Kontakt. Zusammen mit russischen Emigranten gelangte er 1906 über Krakau und Wien nach Berlin, wo er als Bäcker arbeitete und die deutsche Sprache erlernte. Zugleich wuchs sein Interesse an Literatur und Theater: er besuchte Vorlesungen und suchte Anschluss an das jiddische Theater, wo er seine ersten schauspielerischen Versuche unternahm. 1909 absolvierte er eine Ausbildung bei Max Reinhardt an der Schauspielschule des Deutschen Theaters, mit Vorbildern wie Alexander Moissi, Paul Wegener und Albert Bassermann. Nachdem er als Lucianus in "Hamlet" in Vertretung eines erkrankten Darstellers erfolgreich debütiert hatte, erhielt Granach sein erstes Engagement am Deutschen Theater in Berlin. Allerdings musste er seine Karriere bald unterbrechen, als er im Ersten Weltkrieg von 1914-18 in die österreichische Armee einberufen wurde. Nach Kriegsende war er am Münchner Schauspielhaus engagiert, wo er seine Traumrolle spielen durfte, den Shylock in Shakespeares "Der Kaufmann von Venedig". 1921 ging Granach zurück nach Berlin, wo er am Lessing-Theater und am Berliner Schauspielhaus auftrat.

Sein Filmdebüt gab Alexander Granach 1919 in "Das goldene Buch", 1920 gefolgt von "Die Liebe vom Zigeuner stammt…". In seinem dritten Film, "Der große Chef", spielt er an der Seite von Ernst Reicher (als Detektiv Stuart Webbs) bereits die Titelrolle. In den nächsten Jahren arbeitete er mit einigen großen Regisseuren. Er gab den Häusermakler Knock in F. W. Murnaus "Nosferatu" (1921), einen Gefangenen in Richard Oswalds "Lucrezia Borgia" (1922) und den Schigolch in Leopold Jessners "Erdgeist" (1923). Von der Kritik wurde sein expressives Spiel mitunter auch als überzogen bezeichnet. So hieß es im Film-Kurier über seinen Judas in Robert Wienes "I.N.R.I" (1923): "[er] gibt wieder allzu ungehemmt seiner Neigung zu Unterstreichungen nach. Seine Gebärde bleibt dekorativ, weil sie Selbstzweck ist, nicht Symbol eines inneren Zustandes, sein Minenspiel Grimasse. Sein Judas wird nicht zum Typus, sondern bleibt Einzelindividuum, dem als solchem die innere Wahrheit fehlt." Herbert Ihering analysierte im Berliner Börsen-Courier: "Er hat erst dann eine Entwicklung, wenn es ihm gelingt, die Intensität fruchtbar für die letzte Steigerung zu machen, also aus der Schärfe auf die Gipfelmomente zu gelangen."  

1928 engagierte Granach sich im Volksverband für Filmkunst, einer linksgerichteten Sammelbewegung gegen die deutsche Filmreaktion. 1929 gründete er ein Schauspieler-Kollektiv, Das Novemberstudio, das im selben Jahr mit zwei Inszenierungen vor das Berliner Publikum trat. 

Im deutschen Tonfilm konnte er nur noch in wenigen Produktionen mitwirken, darunter "Die letzte Kompagnie" (1930,) "1914 – Die letzten Tage vor dem Weltbrand" (1930) und "Danton" (1931). Sein letzter Film in Deutschland war G. W. Pabsts "Kameradschaft" (1931), der die Solidarität zwischen deutschen und französischen Bergarbeitern thematisierte. 1933 musste Granach aufgrund seiner politisch linksgerichteten Einstellung und seiner jüdischen Herkunft emigrieren. Seine Frau Marta und sein Sohn Gert (Gad) wanderten nach Palästina aus; die Ehe wurde geschieden. Granach selbst ging nach einer Zwischenstation in der Schweiz nach Warschau. Dort spielte er auf Jiddisch in der Uraufführung von Friedrich Wolfs Drama "Mamlock" die Titelrolle. Sein linkes Engagement setzte er in der Emigration zunächst fort. Ab 1934 war die Schauspielerin Lotte Lieven-Stiefel, die er im Schweizer Exil kennenlernte, seine Lebensgefährtin.

In der Sowjetunion wirkt er in zwei Filmen mit: als Danilo, Oberhaupt des Zigeunerlagers, in "Poslednij tabor" (1936) und als Georgi Dimitroff in "Bortsy" (R: Gustav von Wangenheim, 1936), der den Reichstagsbrand-Prozess thematisierte. In Kiev spielte Granach am jüdischen Theater in jiddischer Sprache unter anderem den Shylock. 

Im Zuge der stalinistischen Säuberungsaktionen wurde Granach im November 1937 vorübergehend verhaftet, erhielt im Dezember desselben Jahres jedoch durch die Intervention von Lion Feuchtwanger ein Ausreisevisum nach Zürich. Dort hatte Granachs seinen letzten Auftritt in Europa: die Titelrolle in "Macbeth" 1937/38 am Züricher Schauspielhaus. 

Im Mai 1938 ging Alexander Granach in die USA. Doch seine Bemühungen, mit weiteren Emigranten in New York ein deutschsprachiges Theater aufzubauen, scheiterten. Auf Empfehlung William Dieterles versuchte er sein Glück in Hollywood – wo er sich rasch in den Studiobetrieb integrieren konnte. Er spielte den Agent Kopalski in Lubitschs "Ninotchka" (US 1939), wobei ihm sein dreijähriger Aufenthalt in der Sowjetunion zugutekam, und hatte kleinere Parts unter anderem in Dieterles "The Hunchback of Notre Dame" ("Der Glöckner von Notre Dame, US 1939) und Hitchcocks "Foreign Correspondent" ("Der Auslandskorrespondent", US 1940).

Ab Beginn des Zweiten Weltkrieges entstanden in Hollywood zahlreiche Anti-Nazi-Filme, in denen Granach mehrmals Nazis verkörperte, zum Beispiel einen Gestapo-Agenten in "Joan of Ozark" (US 1942) und den Gestapochef Gruber in Fritz Langs "Hangmen Also Die!" ("Auch Henker sterben", US 1943). Auch in seinem letzten Film, Fred Zinnemanns "The Seventh Cross" ("Das siebte Kreuz", 1944), nach dem Roman von Anna Seghers, spielte er einen Nazi, den KZ-Aufseher Zillich.

Am 13. März 1945 starb Alexander Granach in New York überraschend an den Folgen einer Blinddarmentzündung.