Meike Droste wurde am 5. Februar 1980 in Bobingen geboren und wuchs in Neusäß bei Augsburg auf. Von 1999 bis 2003 studierte sie Schauspiel an der Münchner Otto-Falckenberg-Schule. Während dieser Zeit sammelte sie Schauspielerfahrungen an den Münchner Kammerspielen und wurde 2001 beim Schauspielwettbewerb der Carl-Orff-Stiftung mit dem Ersten Preis ausgezeichnet. 2002, noch vor ihrem Abschluss, erhielt sie ein Engagement am Berliner Ensemble, wo sie unter anderem mit den Regisseuren Claus Peymann (bei "Die heilige Johanna der Schlachthöfe") und Leander Haußmann (bei "Ein Sommernachtstraum") arbeitete.

Nach einem Engagement am Schauspielhaus Zürich (2004/2005) wurde Droste zur Spielzeit 2006/07 ins Ensemble des Deutschen Theaters Berlin aufgenommen, wo sie beispielsweise in "Der Kirschgarten", "Onkel Wanja" und "Hexenjagd" auf der Bühne stand. Für ihre Rolle als Mascha in Tschechows "Die Möwe" wurde sie 2009 mit dem Der Faust-Theaterpreis ausgezeichnet.

Ab 2008 stand Meike Droste regelmäßig auch für Fernsehproduktionen vor der Kamera. Größere Bekanntheit erlangte sie hier als Polizeimeisterin an der Seite von Caroline Peters und Bjarne Mädel in der Krimiserie "Mord mit Aussicht" – diese Rolle spielte sie zwischen 2008 und 2014 in insgesamt 39 Episoden. Daneben übernahm sie Gastrollen in anderen Serien. Auf der Kinoleinwand sah man sie in Nebenrollen des Sozialdramas "Baching" (2008) und der Komödie "Schwestern" (2013).

2013 verließ Droste das Ensemble des Deutschen Theaters und begann als freie Schauspielerin zu arbeiten. Neben diversen Bühnenengagements, etwa am Münchner Residenztheater und der Berliner Staatsoper, wirkte sie nun häufiger in TV- und Kinoproduktionen mit. So zum Beispiel in der Titelrolle der Miniserie "Frau Temme sucht das Glück" (2017), als Theatermacherin Helene Weigel in der Kinoproduktion "Mackie Messer – Brechts Dreigroschenfilm" (DE/BE 2018) und als Schauspielerin Ursula Strätz in der Fassbinder-Filmbiografie "Enfant Terrible" (2020).

In dem Jugendabenteuer "Nachtwald" (2021) war sie die Mutter der jungen Hauptfigur, in der Dramedy-Serie "Wendehammer" (2022-2023) hatte sie eine Hautrolle als Mitglied einer (spieß)bürgerlichen Nachbarschaftsclique. Außerdem übernahm Droste weiterhin Episodenrollen in Reihen wie "Ein starkes Team" und "Der Bozen-Krimi". Auch am Theater blieb sie aktiv, unter anderem 2023 bei der Ruhrtriennale und im Rahmen der Barocktage der Berliner Staatsoper. Eine weitere Kinohauptrolle spielte sie in der skurrilen Dorfkomödie "Another German Tank Story", die 2025 startete.